幾何平均とは？
先生、幾何平均ってどういう意味ですか？
地球環境の専門家
幾何平均とは、n個の数についての、その相乗積のn乗根のことです。相乗平均ともいわれます。
汚染物質の濃度のように対数正規分布する母集団の平均値を求めるときには、算術平均（相加平均）ではなく、幾何平均（相乗平均）値を求める必要があるのはなぜですか？
地球環境の専門家
それは、対数正規分布する母集団の代表値を算術平均で求めると、極端に大きな値の影響を強く受けてしまい、分布の中心的な傾向を正しく反映できないからです。幾何平均を用いると、対数正規分布のデータでも中心的な傾向を適切に表すことができます。
幾何平均とは。
「幾何平均」とは、データを対数変換した後にその算術平均を取り、得られた値を逆変換（指数変換）したものを指します。すなわち、n個の正のデータの相乗積のn乗根に等しくなります。
幾何平均は、データが対数正規分布に従う場合によく使われます。対数正規分布とは、データの対数値が正規分布に従う分布のことです。汚染物質の濃度など、自然界のデータは対数正規分布に従うことがよくあります。
幾何平均は、算術平均（相加平均）とは異なる点に注意が必要です。算術平均は、データをすべて足し合わせて、その和をデータ数で割ったものです。これに対し幾何平均は、データの対数値の算術平均を求め、その値を指数変換することで得られます。
正のデータにおいては、幾何平均は常に算術平均以下となる性質があり、極端に大きな値（外れ値）の影響を受けにくいという特徴があります。
幾何平均は、汚染物質の濃度のように対数正規分布する母集団の平均値を求めるときや、成長率・利率など比率で変化する経済指標の平均値を求めるときによく使われます。
幾何平均の基本
幾何平均とは、複数の正のデータの積の累乗根であり、その値はデータの平均的な傾向を示しています。幾何平均は、算術平均や中央値とは異なる平均値の一種で、比率的な変化を考慮した平均値です。幾何平均の基本的な計算方法は、n個のデータの積を求め、そのn乗根を取ることです。
例えば、3つのデータ2、4、8の幾何平均を求める場合、まずデータの積を求めます。2 × 4 × 8 = 64です。次に、データの個数である3に対応する累乗根（3乗根）を取ります。64の3乗根は4となり、これがこのデータの幾何平均です。なお、同じデータの算術平均は (2+4+8)÷3 ≒ 4.67 となり、幾何平均よりやや大きい値になります。
幾何平均は、データのばらつきが大きい場合や、データが比率・倍率として変化する場合に、平均的な傾向をより適切に表すことができます。例えば、ある会社の従業員の給与が100万円、200万円、300万円の場合、算術平均は200万円、中央値は200万円ですが、幾何平均は約181.7万円となります。このように、データに大きな差がある場合、幾何平均は算術平均よりも小さくなり、外れ値の影響を抑えた平均値を示します。
幾何平均の性質
幾何平均には、いくつかの重要な性質があります。
第一に、幾何平均はデータをすべて対数変換したのち算術平均を取り、それを逆変換（指数変換）した値に等しくなります。このため、データが対数正規分布に従う場合に中心的傾向をよく表します。
第二に、正のデータにおいては 調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 算術平均 という関係が常に成り立ちます（すべての値が等しい場合のみ等号が成立）。これは数学的に証明されている重要な不等式です。
第三に、幾何平均は比率や倍率の平均を取るのに適しており、各データに同じ係数を掛けると幾何平均にも同じ係数が掛かるという性質（スケール不変性）を持ちます。
これらの性質により、幾何平均は算術平均や調和平均といった他の平均とは異なる特徴を持ち、金融・統計・環境分野などさまざまな応用において有用な指標となっています。
幾何平均の応用
幾何平均の応用は、金融や統計学、経済学、環境科学など、さまざまな分野で見ることができます。例えば金融では、運用資産の平均リターンを計算するために幾何平均が用いられます。これは、投資における複利の効果を考慮した平均リターンを表すためです。
統計学では、データの分布が偏っている場合や対数正規分布に従う場合に、中心的な傾向を表す指標として幾何平均が用いられます。算術平均は外れ値の影響を受けやすいのに対し、幾何平均は外れ値の影響を受けにくいという特徴があるためです。
経済学では、経済成長率の平均を計算するために幾何平均が用いられます。経済成長率は毎年変化する比率データであるため、幾何平均を用いることで長期的な平均成長率を正しく算出できます。
さらに環境科学の分野では、汚染物質の濃度のように対数正規分布に従うデータの代表値として、幾何平均が広く採用されています。
算術平均との違い
幾何平均と算術平均は、どちらもデータの平均値を計算する方法ですが、その計算方法は異なります。算術平均は、データの値をすべて合計して、データの個数で割った値です。一方、幾何平均は、データの値をすべて掛け合わせて、そのデータの個数に応じた累乗根（n個ならn乗根）を取った値です。
データがすべて正の値の場合、幾何平均は算術平均以下になります（すべての値が等しい場合のみ等しくなります）。これは数学的に証明されている性質で、データのばらつきが大きいほど両者の差は大きくなります。
したがって、データに極端に大きな値や小さな値が含まれている場合は、算術平均よりも幾何平均の方がデータの中心的な傾向をより良く表す場合が多くなります。例えば、ある会社の従業員の給与データに、社長の給与のように極端に大きな値が含まれている場合、算術平均は社長の給与の影響を強く受けて、一般的な従業員の給与水準を正しく表さない可能性があります。一方、幾何平均は外れ値の影響を受けにくく、データの中心的な傾向をより良く表すことができます。
幾何平均の例
幾何平均は、数字のリストにおける平均的な成長率（変化率）を測定するのに役立ちます。 例えば、ある株の株価が200円から300円に上昇したとします。この場合、株価の上昇率は50％（倍率1.5）です。続いて株価が300円から400円に上昇した場合は、上昇率は約33.3％（倍率約1.333）です。この2回の倍率の幾何平均は √(1.5 × 1.333) ≒ 1.414 となり、平均上昇率は約41.4％に相当します。実際、200円が2期で400円になっており、1期あたりの平均倍率はちょうど √2 ≒ 1.414 です。算術平均（41.7％）とは値が異なる点に注意が必要です。
幾何平均は、投資リターンの比較にも使用できます。 例えば、複利的に変動する投資のリターンを評価する場合、各期のリターン倍率の幾何平均を取ることで、長期的な平均利回り（年平均成長率）を算出できます。
幾何平均は、経済成長率の比較にも使用できます。 例えば、ある国の経済成長率が2019年には2％、2020年には3％、2021年には4％だったとします。この場合、各年の倍率（1.02、1.03、1.04）の幾何平均はおよそ1.02998となり、年平均成長率は約3.00％と算出されます。
